Espérance et variance d'une loi binomiale

Propriété

Soit  $X$  une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres  $n$  et  $p$ . L'espérance, la variance et l'écart-type de $X$  valent respectivement :

• $E[X]=np$
  
• $V(X)=np(1-p)$
  
• $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$
  

Exemple

D'après une étude menée en 2023 par  l'Institut national de la jeunesse et de l'éducation populaire (Injep) , 59 % des Français de 15 ans ou plus pratiquent au moins une activité physique et sportive par semaine. On interroge 160 personnes au hasard dans la population française. On suppose que ce nombre est suffisamment petit comparé à la population totale pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise.

On note  $X$  le nombre de personnes ayant déclaré pratiquer une activité physique hebdomadaire.
$X$  suit alors une loi binomiale de paramètres 160 et 0,59. Ainsi,  $E[X]=160\times 0,59=94,4$ . En moyenne, lors de cette enquête, 94 personnes déclarent pratiquer une activité physique hebdomadaire.